# Аналитическая геометрия ## Глава 1. Матрицы ### Матрицы Матрицей размер $$m\times n$$ называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, на пересечении которых распологаются элементы матрицы. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений. $$\begin{cases} a\_1x+b\_1y+c\_1z=d\_1 \ a\_2x+b\_2y+c\_2z=d\_2 \ a\_3x+b\_3y+c\_3z=d\_3 \end{cases}$$ Система может быть записа в таком виде $$\begin{pmatrix} a\_1 & b\_1 & c\_1 \ a\_2 & b\_2 & c\_2 \ a\_3 & b\_3 & c\_3 \end{pmatrix}$$ Чтобы ее решить, нужно рассмотреть расширенную матрицу системы $$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} d\_1 \ d\_2 \ d\_3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a\_1 & b\_1 & c\_1 & \vert & d\_1 \ a\_2 & b\_2 & c\_2 & \vert & d\_2 \ a\_3 & b\_3 & c\_3 & \vert & d\_3 \end{pmatrix}$$ Матрица обозначается, как $$A\_{mn}=a\_{jk}$$ j - номер строчки, k - номер столбец. **Способы обозначения элементов матрицы:** $$a\_{jk}=a^j\_k$$ Верхний индекс означает строку, нижний столбце. $$\begin{matrix} & & & k & & & & & \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ j & \* & \* & a\_{jk} & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* & \* \ \end{matrix}$$ Матрица размер $$m\times 1$$ называются столбцами длины m, а размер $$1\times n$$ называются строчками длины n. $$\begin{pmatrix} a^1 \ \vdots \ a^j \ \vdots \ a^m \end{pmatrix} \space и \space \begin{pmatrix} a\_1 & \dots & a\_k & a\_n \end{pmatrix}$$ **Запись матрицы через столбцы:** $$A=\begin{vmatrix} \begin{vmatrix}A\_1\end{vmatrix} & \dots & \begin{vmatrix}A\_k\end{vmatrix} & \dots & \begin{vmatrix}A\_n\end{vmatrix} \end{vmatrix}$$ $$A\_1=\begin{pmatrix} a^1\_1 \ \vdots \ a^j\_1 \ \vdots \ a^m\_1 \end{pmatrix}, \space A\_k= \begin{pmatrix} a^1\_k \ \vdots \ a^j\_k \ \vdots \ a^m\_k \end{pmatrix}, \dots, A\_n= \begin{pmatrix} a^1\_n} \ \vdots \ a^j\_n \ \vdots \ a^m\_n \end{pmatrix}$$ **Запись матрицы через строчки:** $$A=\begin{pmatrix} A^1 \ \vdots \ A^j \ \vdots \ A^m \end{pmatrix}$$ $$A\_1= \begin{pmatrix} a\_{11} & \dots & a\_{1k} & \dots & a\_{1n} \end{pmatrix}$$ $$A\_j= \begin{pmatrix} a\_{j1} & \dots & a\_{jk} & \dots & d\_{jn} \end{pmatrix}$$ $$A\_m= \begin{pmatrix} a\_{m1} & \dots & a\_{mk} & \dots a\_{mn} \end{pmatrix}$$ **Матрицу могут составлять любые элементы** **Запись матрицы черз блоки(пунктирные линии означают сплошные):** $$A= \begin{pmatrix} a\_{11} & a\_{12} & | & a\_{13} \ a\_{21} & a\_{22} & | & a\_{23} \ -- & - & -- & -- \ a\_{31} & a\_{32} & | & a\_{33} \end{pmatrix}= \begin{vmatrix} A\_{11} & | & A\_{12} \ -- & -- & -- \ A\_{21} & | & A\_{22} \end{vmatrix}$$ $$A\_{11}=\begin{pmatrix} a\_{11} & a\_{12} \ a\_{21} & a\_{22} \end{pmatrix}$$ $$A\_{12}= \begin{pmatrix} a\_{13} \ a\_{23} \end{pmatrix}$$ $$A\_{21}= \begin{pmatrix} a\_{31} & a\_{32} \end{pmatrix}$$ $$A\_{22}=a\_{33}$$ **Квадратная матрица** - это матрица у которой число строк совпадает с числом столбцов. $$A\_{nn}=a\_{jk}$$. Развернутая запись: $$A=\begin{pmatrix} a\_{11} & \dots & a\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a\_{n1} & \dots & a\_{nn} \end{pmatrix}$$ Элементы {$$a\_{11},a\_{22},\dots a\_{nn}$$} называются **главной диагональю.** **Нулевая матрица** = это матрица $$m\times n$$ элементами которйо являются нули. $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ **Диагональная матрица** - это квадратная матрица у которой все элементы все главной диагонали равны нулю. Нулевая матрица является диагональной. $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ **След квадратной матрицы.** Пусть задана матрица $$A\_{nn}=a\_{jk}$$, тогда ее следом является: $$tr\space A=a\_{11}+a\_{22}+\dots +a\_{nn}$$ т.е. сумма элементов главной диагонали. ### Сложение матриц и умножение матриц на числа **Произведением** вещенственного или комплексного числа $$\alpha$$ на матрицу $$A\_{m\times n}$$ называется матрица того же размер $$B\_{m\times n}$$, элементы которой равны $$b\_{jk}=\alpha a\_{jk}$$ $$\alpha \begin{pmatrix} a\_{11} & \dots & a\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a\_{m1} & \dots & a\_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha a\_{11} & \dots & \alpha a\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \alpha a\_{m1} & \dots & \alpha a\_{mn} \end{pmatrix}$$ **Суммой двух матриц** $$A\_{m\times n}\space и\space B\_{m\times n}$$ одного и того же размер называется такая матрица $$C\_{m\times n}$$ элементы которой равны $$c\_{jk}=a\_{jk}+b\_{jk}$$ $$\alpha \begin{pmatrix} a\_{11} & \dots & a\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a\_{m1} & \dots & a\_{mn} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b\_{11} & \dots & b\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ b\_{m1} & \dots & b\_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a\_{11}+b\_{11} & \dots & a\_{1n}+b\_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ a\_{m1}+b\_{m1} & \dots & a\_{mn}+b\_{mn} \end{pmatrix}$$ 1. Матриця размером $$m\times n$$, состоящие из **вещественных чисел** мы будем обозначать как $$\mathbb{R^{m\times n}}$$ 2. Матриця размером $$m\times n$$, состоящие из **комплексных чисел** будем обозначать как $$\mathbb{C^{m\times n}}$$ **Свойства:** 1. $$A+B=B+A$$ 2. $$(A+B)+C=A+(B+C)$$ 3. $$A+O=A$$ 4. $$A+A^{\lq}=O$$ 5. $$1\*A=A$$ 6. $$\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$$ 7. $$\alpha (A+B)=\alpha A + \alpha B$$ 8. $$(\alpha + \beta)A=\alpha A + \beta A$$ Операции сложение матриц и умножение матрицы на число называются **линейными операциями** поскольку определены в линейном пространстве. * $$A, B, C\in \mathbb{C^{m\times n}}$$ - матрицы. $$A^{\lq}=(-1)A$$ * $$\alpha \beta \in \mathbb{C}$$ - фиксированные комплексные числа ### Умножение матриц Умножение матриц основано на правиле **строка на столбец.** $$(a\_1,a\_2,\dots,a\_n) \begin{pmatrix} b^1 \ b^2 \ \vdots \ b^n \end{pmatrix}=a\_1b^1+a\_2b^2+\dots+a\_nb^n$$ Длины строки и столбца должны быть одинаковыми. **Произведением матрицы** A размер $$m\times n$$ на матрицу B размером $$p\times n$$ называется матрица C размером $$m\times n$$, имеющая следующий вид: $$C\_{m\times n}=c\_{jk}\in \mathbb{C^{m\times n}},\space c\_{jk}=\sum\_{s=1}^{p}a\_{js}b\_{sk}$$ Коммутатором квадратных матриц $$A,B\in \mathbb{C^{n\times n}} называется матрица из$$\mathbb{C^{n\times n}}$$ имеющая следующий вид: $$\[A,B]=AB-BA$$ Если коммутатор $$\[A,B]=O$$ - нулевая матрица размера $$n\times n$$ то матрица A и B называются коммутирующими. Антикоммутатором матриц A и B называется следующая величина: $$AB+BA$$ Две равны квадратные матрицы коммутируют. Кроме того $$\[A,B]=-\[B,A]$$ **Произведение блочных матриц(стр14)** ### Свойства произведения матриц 1. $$A(BC)=(AB)C$$ 2. $$A(B+C)=AB+AC$$ 3. $$(A+B)C=AC+BC$$ 4. $$EA=A$$ 5. $$AE=A$$ 6. $$tr\space AB=tr\space BA$$ ### Обратная матрица Матрица $$A^{-1}\in \mathbb{C^{n\times n}}$$ называется **обратной** к матрице $$A\in \mathbb{C^{n\times n}}$$, если выполнены следующие равенства: $$A^{-1}A=AA^{-1}=I\_n$$ Матрица $$I\_n\in \mathbb{C^{n\times n}}$$ это единичная матрица, т.е. диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены числа 1. **Свойства:** 1. **Транспонированная матрица** ## Глава 2. Системы линейных уравнений ### Системы ### Метод Гаусса ### Матрица элементарных преобразований ## Глав 3. Вектор и его координаты ### Направленные отрезки и вектор ### Линейные операции над векторами ### Линейной зависимые и независимые векторы ### Базис и координаты векторов ## Глава 4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов ### Проекция вектора на ось ### Скалярное произведение ### Векторное произведение векторов ### Смешанное произведение векторов ### Линейность смешанного и векторного произведений ## Глава 5. Системы координат ### Декартовы системы координат ### Направляющие косинусы ### Полярная система координат ### Цилиндрическая система координат ### Сферическая система координат ## Глава 6. Линейное пространство и его свойства ### Определение векторного пространства ### Линейные оболочки и подпространства ### Линейная зависимость и независимость ### Линейная зависимость и независимость. Продолжение ### Размерность и базис векторного пространства ## Глава 7. Определители ### Определитель второго порядка ### Определитель третьего порядка ### Свойства определителей ### Алгебраические дополнения и дополнительные миноры ### Важные теоремы об определителях ### Обратная матрица ### Необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности векторов ## Глава 8. Прямая на плоскости ### Различные уравнения прямой на плоскости ### Направляющий вектор прямой ### Частные случаи расположения прямой ### Взаимное расположения двух прямых ### Полуплоскости, определяемые прямой ### Нормальное уравнение прямой ## Глава 9. Прямая и плоскость в пространстве ### Различные уравнения прямой в пространстве ### Различные уравнения плоскости в пространстве ### Нормальные уравнения плоскости ### Взаимное расположение двух прямых ### Прямая как пересечение двух плоскостей ### Полупространства, определяемые плоскостью ### Некоторые метрические задачи ## Глава 10. Теорема Кронекера-Капелли и ее приложения ### Ранг матрицы ### Теорема о бзаисном миноре ### Фундаментальное семейство решений ### Взаимное расположение двух прямых на плоскости ### Взаимное расположение трех прямых на плоскости ### Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве ### Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве ### Взаимное расположение двух прямых в пространстве ## Глава 11.Эллипс, гипербола и парабола ### Каноническое уравнение эллипса ### Каноническое уравнение гиперболы ### Каноническое уравнение параболы ### Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе ### Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы ### Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы ## Глава 12. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду ### Преобразование прямоугольных декартовых координат на плоскости ### Матричная форма записи преобразований на плоскости в однородных координатах ### Уравнения квадрики на плоскости ### Ортогональные преобразования уравнения квадрики ### Уничтожение слагаемоего $$2a\_{12}xy$$ при помощи поворота на угол $$\alpha$$ ### Уничтожение линейных слагаемых $$2b\_1x+2b\_2y$$ ### Уравнение эллиптического типа ### Уравнение гиперболического типа ### Уравнение параболического типа ## Глава 13. ### Канонические уравнения поверхностей второго порядка ### Линейчатые поверхности