Аналитическая геометрия

Глава 1. Матрицы

Матрицы

Матрицей размер $m\times n$ называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов, на пересечении которых распологаются элементы матрицы. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений.

$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases}$

Система может быть записа в таком виде

$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$

Чтобы ее решить, нужно рассмотреть расширенную матрицу системы

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & \vert & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & \vert & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & \vert & d_3 \end{pmatrix}$

Матрица обозначается, как $A_{mn}=a_{jk}$ j - номер строчки, k - номер столбец.

Способы обозначения элементов матрицы:

$a_{jk}=a^j_k$

Верхний индекс означает строку, нижний столбце.

$\begin{matrix} & & & k & & & & & \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ j & * & * & a_{jk} & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ & * & * & * & * & * & * & * & * \\ \end{matrix}$

Матрица размер $m\times 1$ называются столбцами длины m, а размер $1\times n$ называются строчками длины n.

$\begin{pmatrix} a^1 \\ \vdots \\ a^j \\ \vdots \\ a^m \end{pmatrix} \space и \space \begin{pmatrix} a_1 & \dots & a_k & a_n \end{pmatrix}$

Запись матрицы через столбцы:

$A=\begin{vmatrix} \begin{vmatrix}A_1\end{vmatrix} & \dots & \begin{vmatrix}A_k\end{vmatrix} & \dots & \begin{vmatrix}A_n\end{vmatrix} \end{vmatrix}$

A_1=\begin{pmatrix} a^1_1 \\ \vdots \\ a^j_1 \\ \vdots \\ a^m_1 \end{pmatrix}, \space A_k= \begin{pmatrix} a^1_k \\ \vdots \\ a^j_k \\ \vdots \\ a^m_k \end{pmatrix}, \dots, A_n= \begin{pmatrix} a^1_n} \\ \vdots \\ a^j_n \\ \vdots \\ a^m_n \end{pmatrix}

Запись матрицы через строчки:

$A=\begin{pmatrix} A^1 \\ \vdots \\ A^j \\ \vdots \\ A^m \end{pmatrix}$

$A_1= \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1k} & \dots & a_{1n} \end{pmatrix}$

$A_j= \begin{pmatrix} a_{j1} & \dots & a_{jk} & \dots & d_{jn} \end{pmatrix}$

$A_m= \begin{pmatrix} a_{m1} & \dots & a_{mk} & \dots a_{mn} \end{pmatrix}$

Матрицу могут составлять любые элементы

Запись матрицы черз блоки(пунктирные линии означают сплошные):

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & | & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & | & a_{23} \\ -- & - & -- & -- \\ a_{31} & a_{32} & | & a_{33} \end{pmatrix}= \begin{vmatrix} A_{11} & | & A_{12} \\ -- & -- & -- \\ A_{21} & | & A_{22} \end{vmatrix}$

$A_{11}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

$A_{12}= \begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \end{pmatrix}$

$A_{21}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$

$A_{22}=a_{33}$

Квадратная матрица - это матрица у которой число строк совпадает с числом столбцов. $A_{nn}=a_{jk}$. Развернутая запись:

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Элементы {$a_{11},a_{22},\dots a_{nn}$} называются главной диагональю.

Нулевая матрица = это матрица $m\times n$ элементами которйо являются нули.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Диагональная матрица - это квадратная матрица у которой все элементы все главной диагонали равны нулю. Нулевая матрица является диагональной.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

След квадратной матрицы. Пусть задана матрица $A_{nn}=a_{jk}$, тогда ее следом является:

$tr\space A=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$

т.е. сумма элементов главной диагонали.

Сложение матриц и умножение матриц на числа

Произведением вещенственного или комплексного числа $\alpha$ на матрицу $A_{m\times n}$ называется матрица того же размер $B_{m\times n}$, элементы которой равны $b_{jk}=\alpha a_{jk}$

$\alpha \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha a_{11} & \dots & \alpha a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha a_{m1} & \dots & \alpha a_{mn} \end{pmatrix}$

Суммой двух матриц $A_{m\times n}\space и\space B_{m\times n}$ одного и того же размер называется такая матрица $C_{m\times n}$ элементы которой равны $c_{jk}=a_{jk}+b_{jk}$

$\alpha \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}$

1. Матриця размером $m\times n$, состоящие из вещественных чисел мы будем обозначать как $\mathbb{R^{m\times n}}$
2. Матриця размером $m\times n$, состоящие из комплексных чисел будем обозначать как $\mathbb{C^{m\times n}}$

Свойства:

1. $A+B=B+A$
2. $(A+B)+C=A+(B+C)$
3. $A+O=A$
4. $A+A^{\lq}=O$
5. $1*A=A$
6. $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$
7. $\alpha (A+B)=\alpha A + \alpha B$
8. $(\alpha + \beta)A=\alpha A + \beta A$

Операции сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями поскольку определены в линейном пространстве.

• $A, B, C\in \mathbb{C^{m\times n}}$ - матрицы. $A^{\lq}=(-1)A$
• $\alpha \beta \in \mathbb{C}$ - фиксированные комплексные числа

Умножение матриц

Умножение матриц основано на правиле строка на столбец.

$(a_1,a_2,\dots,a_n) \begin{pmatrix} b^1 \\ b^2 \\ \vdots \\ b^n \end{pmatrix}=a_1b^1+a_2b^2+\dots+a_nb^n$

Длины строки и столбца должны быть одинаковыми.

Произведением матрицы A размер $m\times n$ на матрицу B размером $p\times n$ называется матрица C размером $m\times n$, имеющая следующий вид:

$C_{m\times n}=c_{jk}\in \mathbb{C^{m\times n}},\space c_{jk}=\sum_{s=1}^{p}a_{js}b_{sk}$

Коммутатором квадратных матриц $A,B\in \mathbb{C^{n\times n}} называется матрица из$\mathbb{C^{n\times n}}$$ имеющая следующий вид:

$[A,B]=AB-BA$

Если коммутатор $[A,B]=O$ - нулевая матрица размера $n\times n$ то матрица A и B называются коммутирующими. Антикоммутатором матриц A и B называется следующая величина:

$AB+BA$

Две равны квадратные матрицы коммутируют. Кроме того $[A,B]=-[B,A]$

Произведение блочных матриц(стр14)

Свойства произведения матриц

1. $A(BC)=(AB)C$
2. $A(B+C)=AB+AC$
3. $(A+B)C=AC+BC$
4. $EA=A$
5. $AE=A$
6. $tr\space AB=tr\space BA$

Обратная матрица

Матрица $A^{-1}\in \mathbb{C^{n\times n}}$ называется обратной к матрице $A\in \mathbb{C^{n\times n}}$, если выполнены следующие равенства:

$A^{-1}A=AA^{-1}=I_n$

Матрица $I_n\in \mathbb{C^{n\times n}}$ это единичная матрица, т.е. диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены числа 1.

Свойства:

1. Транспонированная матрица

Глава 2. Системы линейных уравнений

Системы

Метод Гаусса

Матрица элементарных преобразований

Глав 3. Вектор и его координаты

Направленные отрезки и вектор

Линейные операции над векторами

Линейной зависимые и независимые векторы

Базис и координаты векторов

Глава 4. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Проекция вектора на ось

Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Линейность смешанного и векторного произведений

Глава 5. Системы координат

Декартовы системы координат

Направляющие косинусы

Полярная система координат

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

Глава 6. Линейное пространство и его свойства

Определение векторного пространства

Линейные оболочки и подпространства

Линейная зависимость и независимость

Линейная зависимость и независимость. Продолжение

Размерность и базис векторного пространства

Глава 7. Определители

Определитель второго порядка

Определитель третьего порядка

Свойства определителей

Алгебраические дополнения и дополнительные миноры

Важные теоремы об определителях

Обратная матрица

Необходимые и достаточные условия коллинеарности и компланарности векторов

Глава 8. Прямая на плоскости

Различные уравнения прямой на плоскости

Направляющий вектор прямой

Частные случаи расположения прямой

Взаимное расположения двух прямых

Полуплоскости, определяемые прямой

Нормальное уравнение прямой

Глава 9. Прямая и плоскость в пространстве

Различные уравнения прямой в пространстве

Различные уравнения плоскости в пространстве

Нормальные уравнения плоскости

Взаимное расположение двух прямых

Прямая как пересечение двух плоскостей

Полупространства, определяемые плоскостью

Некоторые метрические задачи

Глава 10. Теорема Кронекера-Капелли и ее приложения

Ранг матрицы

Теорема о бзаисном миноре

Фундаментальное семейство решений

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Взаимное расположение трех прямых на плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Глава 11.Эллипс, гипербола и парабола

Каноническое уравнение эллипса

Каноническое уравнение гиперболы

Каноническое уравнение параболы

Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы

Глава 12. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Преобразование прямоугольных декартовых координат на плоскости

Матричная форма записи преобразований на плоскости в однородных координатах

Уравнения квадрики на плоскости

Ортогональные преобразования уравнения квадрики

Уничтожение слагаемоего $2a_{12}xy$ при помощи поворота на угол $\alpha$

Уничтожение линейных слагаемых $2b_1x+2b_2y$

Уравнение эллиптического типа

Уравнение гиперболического типа

Уравнение параболического типа

Глава 13.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Линейчатые поверхности